Автор: @madschumacher. В этом посте мы поговорим о симметрии в нашем повседневном мире и на уровне отдельных атомов. Эти знания помогут нам заглянуть в мир кристаллов (и даже квазикристаллов!). Здесь будут картинки, анимашки и немного школьной математики.

Поворотная симметрия, она повсюду

Что такое симметрия? С одной стороны, это слово «симметрия» кажется интуитивно понятным. Например, когда мы говорим «какое у него/неё симметричное лицо», то мы понимаем, что имеется в виду: слева и справа — глаза, щёки, уши, в центре лица — нос и рот. И никаких фингалов, портящих эту идиллию (ну или хотя бы сразу два). Если же задуматься об утверждении более детально, то можно свести приведённую фразу к более строгой мысли: у нас есть некая процедура, применив которую к половине лица, мы восстановим как (примерно) выглядит всё лицо целиком. Если быть более точными, половина лица, которая нам нужна — это его левая или правая часть:

Пол-лица закрыто, но мы всё равно можем представить себе всё лицо, используя реальное или воображаемое зеркало.

Процедура, которая нам нужна для восстановления всего изображения лица — это просто поставить реальное (или воображаемое) зеркало вместо закрытой части лица. Подобные фокусы, когда применяя некие алгоритмизируемые действия к части объекта, мы восстанавливаем весь объект, и является той самой симметрией. Процедуры же эти называются элементами или операциями симметрии, и их мы можем найти достаточно много разных типов, которые мы можем по разному сгруппировать.

Нам же для понимания отличия кристаллов и квазикристаллов потребуются всего два типа операций симметрии: повороты и смещения. Начнём с первой из них, с поворотной симметрии. Из названия понятно, что там мы должны что то вращать, и это не спроста. Давайте рассмотрим обычную игральную карту, скажем пиковую даму из атласной колоды:

Изображение пиковой дамы из Википедии.

Верхняя и нижняя части карты одинаковые, и понятно, что из верхней части можно восстановить нижнюю. И, хотя верхнее и нижнее изображения в каком-то смысле выглядят как отзеркаленные, зеркало тут нам не поможет.

Зато получить полную карту только из верхней половины поможет простой её поворот на 180o вокруг центра карты:

Иллюстрация поворотной симметрии на примере игральной карты (пиковая дама).

Из за этой симметрии, если мы повернём карту вверх ногами (т. е. поворот на 180o вокруг центра карты), у нас в руках окажется та же самая изначальная карта. Симметрии такого рода очень легко можно представить с помощью правильных многоугольников с числом углов n>1.