В некоторых квантовых системах проблема знака принципиально неразрешима. Это означает, что их нельзя эффективно смоделировать на классических компьютерах. Два физика, в том числе ученый из Курчатовского Института, показали, что такая проблема возникает из-за гравитационных аномалий в системах с бозонными степенями свободы, например, в дробном эффекте Холла. Статья опубликована в журнале Science Advances.

Традиционно считается, что все задачи, которые могут быть эффективно решены на классическом компьютере, могут быть решены так же эффективно на квантовом компьютере, но не наоборот. Например, эффективные классические симуляторы до сих пор не найдены для многих систем с бозонными степенями свободы, которые возникают естественным образом при изучении моделей взаимодействующих квантовых многочастичных систем (quantum many-body systems). В новой работе ученые показали, что отсутствие таких симуляций обусловлено не недостатком изобретательности исследователей, а принципиальной невозможностью их существования.

Операции на двумерных сетках, сохраняющие знак. Zohar Ringel, Dmitry L. Kovrizhin / Science advances

Авторы статьи отмечают, что доказательство невозможности классических симуляций вообще является плохо определенной задачей. Поэтому они показали, что принципиальные проблемы возникают при использовании самого распространенного метода численных исследований в области — квантового метода Монте-Карло. Основным инструментом этого метода является производящий функционал (partition function, не следует путать со статсуммой из статистической механики). Зная его, с помощью дифференцирования легко найти корреляционные функции системы. Тем не менее, оказывается, что вычисление функционала не всегда возможно из-за проблемы знака, когда фазы подынтегральных выражений быстро меняются.

Основная идея доказательства физиков основывается на понятии аномалий. Аномалии — это своеобразные эффекты, возникающие, когда симметрия, которая присутствует на уровне классической теории поля, нарушается на уровне квантовой теории поля. Как обычный эффект Холла, так и температурный (эффект Риги-Ледюка, thermal Hall effect) можно понять в терминах аномалий — зарядовой и гравитационной (gravitational anomaly, прилагательное «гравитационный» появляется из-за общей ковариантности теории, а не из-за гравитационных эффектов) соответственно.

Зачастую при связывании аномальных теорий со статичными калибровочными полями можно обнаружить, что потоки калибровочного поля приводят к возникновению комплексных фазовых факторов в производящем функционале. Это делает невозможным конструирование производящего функционала без проблемы знака, в котором комплексные фазы запрещены по определению. Тем не менее, так происходит не всегда, и существуют различные контрпримеры. Тонкость заключается в том, что комплексные фазы могут возникать не в исходной теории, а в результате добавления потока калибровочного поля.

Доказательство того, что для классического производящего функционала в 2+1-мерной теории бозонного дробного квантового эффекта Холла на плоскости или на торе невозможно избавиться от проблемы знака, физики провели в три шага. Для начала они установили, что гравитационные аномалии вызывают киральные возбуждения на границе исследуемого объема. Затем они показали, что существование пространственно-изолированного кирального канала в этой теории запрещено при условии неотрицательности оператора трансляции (translation operator) и оператора Перрона-Фробениуса (transfer operator). В то же время существование беззнакового производящего функционала (то есть такого, в котором проблемы знака нет) приводит к неотрицательности этих операторов. Таким образом, получаемое противоречие свидетельствует о невозможности обойти проблему знака в этой теории.

Затем физики рассмотрели фрустрированные квантовые системы, в которых состояния, похожие на возникающие при дробном эффекте Холла, появляются при спонтанном нарушении временной симметрии (time-reversal symmetry). Например, к таким системам относятся квантовые антиферромагнетики Кагоме. В целом, к ним применимы приведенные выше рассуждения, хотя и требуется сделать некоторые дополнительные микроскопические предположения.

Таким образом, ученые показали, что для широкого класса квантовых систем при вычислениях с помощью квантового метода Монте-Карло от проблемы знака принципиально нельзя избавиться. Это означает, что такие системы нельзя эффективно смоделировать, используя обычные, классические компьютеры. Возможно, это препятствие удастся обойти в будущем с помощью квантовых компьютеров.

Недавно мы писали о том, как физики решили с помощью нейросети проблему знака в 1+1-мерной модели Тирринга.

Автор: Дмитрий Трунин