В ФИАНе получено вероятностное представление волновой функции на основе томографического подхода

В Физическом институте им. П.Н. Лебедева РАН получено вероятностное представление волновой функции на основе томографического подхода. С помощью полученной формулировки можно описать квантовые состояния не только систем с непрерывными переменными (координата и импульс), но и систем с дискретными переменными (спины, двухуровневые атомы, кубиты и кудиты).

Основное отличие квантовой механики от классической – это наличие соотношения неопределенностей, согласно которому одновременное измерение координаты и скорости кванта считается невозможным, так что в противовес классическим представлениям о состоянии объекта изменения в состоянии квантового объекта описываются комплексной волновой функцией. Однако обычная интуиция принимать волновую функцию отказывается – даже несмотря на то, что квадрат модуля волновой функции трактуется как плотность вероятности положения частицы, полное описание квантового состояния требует знания ее фазы, которая вероятностной трактовки уже не имеет. Другой вариант описания квантового состояния был предложен Л.Д. Ландау и Дж.фон Нойманом независимо друг от друга в 1927 году. Это матрица плотности, в которой диагональные элементы принимаются за плотность вероятности, но недиагональные элементы такой интерпретации уже не имеют.

Попытки свести описание состояния квантового объекта к классическим образам предпринимались с самого начала развития квантовой механики. Вигнер, Мойал, Фейнман и многие другие пытались перевести значение волновой функции на язык вероятности. Но ни одно из этих уравнений так и не стало идеальным переводом, каждое из них имело свои «дефекты». Например, используя функцию Вигнера, можно найти плотность вероятности положения и импульса объекта, но вместе с тем, для некоторых состояний и в некоторых областях фазового пространства эта функция может принимать отрицательные значения, что для вероятности по определению не свойственно. Доктор физ.-мат.наук Владимир Манько и кандидат физ.-мат. наук Яков Коренной смогли обойти эти трудности с использованием томографического подхода. Оказалось, что повороты системы отсчета в фазовом пространстве с точки зрения математики эквивалентны использованию для функции Вигнера преобразования Радона, широко используемого в медицинских исследованиях.

«В медицинской оптической томографии объект сначала с разных сторон облучают, а потом по плотности пятен восстанавливают плотность того образования, которое исследуют. Для этого используется довольно известное преобразование Радона. Но за счет вращения сканирующего механизма томографа, у нас появляется дополнительная информация, связанная с вращением. В случае с волновой функцией эта дополнительная информация позволяет определить не только вероятность, которая является частью волновой функции, но и ее фазу, которая никак не поддается трактовке. Предположим, мы хотим знать вероятность обнаружения частицы в определенной точке. Для этого мы, грубо говоря, просто поворачиваем систему отсчета "координата-импульс» на определенный угол, и измеряем координату в повернутой системе координат", – рассказывает главный научный сотрудник ФИАН Владимир Манько.

Такой прием можно сравнить с преобразованиями в Общей теории относительности – для того, чтобы описать эффекты, происходящие в одной системе отсчета, нужно перейти в другую, движущуюся по отношению к первой с большой скоростью.

«В Специальной теории относительности, – комментирует профессор Манько, – когда Лоренц описывал, как время и положение объекта зависят от систем отсчета при движении, он считал, что новые, полученные в результате преобразования числа, не имеют отношения к реальным показаниям часов и координат. Но Эйнштейн показал, что это не просто числа, а настоящее время и настоящее положение. Так же и здесь, с помощью преобразования Радона мы просто делаем замену переменных. Например, можно начать с уравнения Шредингера и перевести его из уравнения для волновой функции в уравнение для вероятности. При этом полученная информация будет столь же первична, как и волновая функция, – зная вероятность, мы знаем и волновую функцию».

Уравнение Шредингера и волновая функция – это главные герои квантовой механики, без которых не обходится практически ни одно вычисление. Появление вероятностного представления квантовой механики позволит избавиться от, казалось бы, непреодолимой стены между квантовой и классической картинами мира, и использовать для описания как классического, так и квантового состояний одни и те же понятия – классические понятия вероятности, известные со школьного курса. Фундаментальное (для квантовой механики) соотношение неопределенностей при этом не нарушается.