Группа учёных из Национального университета Сингапура и Бристольского университета (Великобритания) доказала, что классические модели стохастических процессов можно сделать более эффективными, используя квантовые эффекты.

Добротная математическая модель какой-либо системы должна адекватно предсказывать её поведение, основываясь на информации, доступной в настоящий момент. Если модель абсолютно точна, отличить её от исходной системы невозможно; внешний наблюдатель, регистрирующий данные на выходе двух чёрных ящиков, которые скрывают систему и компьютер, просчитывающий модель, никогда не определит, что именно находится в том или ином ящике.

Несложно понять, что у одной системы может быть несколько разных точных моделей. Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим связку из пары двухпозиционных переключателей, состояние которых определяет значение на бинарном выходе системы. Условимся, что на каждом временнόм шаге на выход подаётся «0» (если переключатели находятся в разных положениях) или «1», после чего один из переключателей, выбираемый случайным образом, переводится в новое положение. Как показывают элементарные расчёты,

на выходе в этом случае появится последовательность сменяющих друг друга единиц и нулей.

Очевидный вариант модели, точно описывающей такую систему, требует двух битов входной информации и отслеживает состояния обоих переключателей. Можно, однако, обойтись и одним битом: чтобы предсказать, какое значение будет следующим в последовательности типа 010101, достаточно знать, что было на выходе системы на предыдущем временнόм шаге.

Вторая модель из нашего примера, очевидно, более эффективна, поскольку даёт нужную статистику выходных значений, но использует меньший объём информации. Эта характеристика считается важной, так как физическое устройство, с помощью которого математическая абстракция преобразуется в действующую модель, должно иметь возможность хранения всех данных, необходимых для работы.

Рис. 1. Превращение математической модели в действующую физическую (иллюстрация из журнала Nature Communications).

В своём исследовании авторы, опираясь на понятие энтропии, дают определения оптимальной и идеальной моделей, после чего доказывают теорему о том, что квантовая модель стохастического процесса должна быть более эффективной, чем оптимальная классическая, если только последняя не идеальна. Недостаток классических моделей, к которому апеллирует это доказательство, можно описать так: они «тратят» лишние объёмы информации на полное разграничение состояний системы, которые, скажем, на следующем временнόм шаге теоретически могут дать одинаковые выходные значения и перейти в одно, общее для них состояние. Другими словами, состояния автоматически разграничиваются, так как они имеют разные будущие выходные статистики, но то, насколько статистики разнятся, не учитывается. Чтобы избавиться от такого дефекта, нужно использовать при моделировании квантовые состояния, не являющиеся взаимно ортогональными.

Хорошим примером здесь служит процесс, реализуемый с помощью одиночной монетки, которая на каждом временном шаге испытывает некое воздействие и переворачивается с вероятностью 0 < р < 1. Для любой р ≠ 0,5 у такой системы будут выделяться состояния «0» и «1», отвечающие наборам последовательностей выходных значений, которые оканчиваются единицей или нулём. Приближение р к 0,5 делает будущие выходные статистики, соответствующие двум состояниям, похожими друг на друга; иначе говоря, ценность информации о том, в каком состоянии монетка была на предыдущем шаге, падает. Эту деталь и учитывает квантовый поход.

Полный вариант доказательства опубликован в журнале Nature Communications.