На первый взгляд придумывать обои не сложнее, чем выполнять задания из детского сада. Дизайнеры могут выбрать любое сочетание цветов и форм для первоначального кусочка, и просто размножить его в двух направлениях. В зависимости от узора начального кусочка и выбора направлений могут появляться и дополнительные симметрии – к примеру, симметрия шестого порядка на первой картинке, или зеркальная на второй. Оба узора созданы математиком Фрэнком Фарисом [Frank Farris] из калифорнийского университета Санта-Клары.

Слева – узор обоев с симметрией вращения шестого порядка вокруг каждой из коричнево-зелёных розеток. Справа – узор обоев с зеркальной симметрией относительно горизонтальных линий, проходящих через каждый эллиптический элемент орнамента витража.

Но, хотя можно сделать обои с вращательными симметриями второго, третьего, четвёртого или шестого порядков, невозможно создать обои с симметрией пятого порядка [порядок показывает, сколько раз при повороте на 360° произойдёт самосовмещение узора – прим. перев.]. Это ограничение известно математикам почти 200 лет как «кристаллографическое ограничение». Геометрия пятиугольника запрещает узоры с симметрией пятого порядка. То же верно для порядков семь и более.

Плитки Пенроуза демонстрируют множество примеров локальной симметрии пятого порядка, но у них не встречается повторений узора. При заполнении больших областей на плоскости отношение количества широких плиток к количеству узких приближается к золотому сечению.

Тем не менее, самые интересные узоры, такие, как плитки Пенроуза, проявляют локальную симметрию пятого порядка во многих местах и на разных масштабах, только без повторяющихся узоров. Используя отличающийся от подхода Пенроуза метод, Фаррис обуздал необычную геометрию симметрии пятого порядка и создал новый набор захватывающих изображений – псевдо-обои, не подчиняющиеся, на первый взгляд, кристаллографическому ограничению.

Рис. 4

4-й рисунок выглядит как контрпример для кристаллографического ограничения, обладая вращательной симметрией пятого порядка вокруг точки А, при том, что узор можно сдвинуть на плоскости в направлениях AB или AC. На самом деле Фарис пишет в своей статье для журнала Notices of the American Mathematical Society, что это картинка – всего лишь хитроумная подделка.

«Вы знаете, что наблюдаемая вами симметрия невозможна», говорит Стивен Кеннеди из Карлтонского колледжа в Миннесоте.

Вращательная симметрия пятого порядка вокруг точки А вроде бы выполняется. Но если присмотреться, то можно заметить, что колёсики вокруг точек В и С немного отличаются от А. Если бы мы могли отдалиться от узора, чтобы увидеть большее количество повторений, то видимые повторения узора были бы всё меньше и меньше похожими на узор в районе точки А, даже если бы всё более убедительные копии А появлялись бы в других местах, как на рис. 5. Фарис показал, что такие иллюзии можно создавать и на более крупных масштабах, удаляясь от узора и повторяя его определенное количество раз – а конкретно, количество раз, соответствующее числам из ряда Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… где каждое следующее число является суммой двух предыдущих), который тоже играет свою роль в геометрии плиток Пенроуза.

Рис. 5

«Разумом мы понимаем, что это какой-то обман», говорит Фарис. Тем не менее, как он пишет в статье, эти изображения «приглашают наш взгляд к их изучению и наслаждению почти идеальными повторами».

Фарис додумался до этих подделок, изменив технологию, при помощи которой он создавал настоящие обои с вращательной симметрией 3-го порядка, такие, как на рис. 6.

Для создания симметрии 3-го порядка Фарис начал работу в трёхмерном пространстве, у которого есть одно особенно естественное вращение, перебирающее три пространственные координаты, и вращающее точки в пространстве на 120 градусов вокруг диагонали. Затем Фарис создал трёхмерные узоры обоев, накладывая особым образом выбранные синусоиды и сочетая их с заранее выбранной палитрой цветов. Точки окрашивались в зависимости от их положения на наложенных синусоидах. Затем Фарис вывел плоские обои, ограничив этот окрас двумерной плоскостью, перпендикулярно пересекающей ось вращения изначального пространства.

Этот плавный, использующий синусоиду, подход к созданию узоров обоев отличается от традиционного метода копирования и вставки, говорит Кеннеди. «Это весьма новый способ создавать симметричные узоры».

Рис. 6

Та же самая процедура, проделанная в пятимерном пространстве, вроде было должна приводить к созданию узора с симметрией пятого порядка – если бы только мы не знали, что это невозможно. Интересно, задумался Фарис, в какой же момент эта система даёт сбой?

Теоретически, пятимерное пространство возможно, хотя его и трудновато себе представить. У него существует естественный аналог симметрии вращения пятого порядка, как и у трёхмерного пространства – симметрия третьего. В пятимерном пространстве можно выбрать одну из двух плоскостей, каждая из которых перпендикулярна оси вращения и другой плоскости. Каждую из них можно вращать вокруг точки на 72 или 144 градуса. Может показаться сложным представить себе две плоскости и прямую, перпендикулярные друг другу, но в пяти измерениях им всем хватает места.

Фарис понял, в чём проблема – если перпендикулярная плоскость аккуратно прорезает трёхмерное пространство, и содержит бесконечные обои с бесконечным числом точек, обладающих целочисленными координатами, то две перпендикулярные плоскости в пятимерном пространстве иррациональны, и вообще не содержат точек с целочисленными координатами (кроме точки отсчёта). Поскольку узор обоев, созданный из синусоид, повторяется через сдвиги на целые числа, такие плоскости не наследуют узоров у пространств высшего порядка.

«Вот так и появляется муха в супе», пишет Фарис в статье.

Тем не менее, на этих двух плоскостях появляется иллюзия структуры обоев, благодаря участию т.н. золотого сечения, иррационального числа, описывающего направления двух плоскостей, и чисел Фибоначчи.

Благодаря их взаимоотношениям, Фарису удалось показать, что хотя на двух плоскостях и нет точек с целочисленными координатами, каждая из них очень близко подходит к бесконечному рассеянию точек с целочисленными координатами, координаты которых представляют собой числа Фибоначчи. Каждый раз, когда плоскость приближается к одной из таких точек Фибоначчи, узор выглядит почти так же, как в точке отсчёта, что и создаёт иллюзию точной копии.

Также Фарис придумал, как совместить цвета и узоры фотографий природы с волновыми функциями, чтобы включить их в дизайн узоров, в результате чего можно получить огромное количество «ненастоящих» обоев. На приведённом рисунке можно разглядеть ветви деревьев, перекочевавшие с фотографии.